Olá, galerinha!
Vamos a resposta do DESAFIO DE
RACIOCÍNIO LÓGICO da semana?
A questão foi a seguinte:
(ESAF/2010 - SMF-RJ) Sendo x um número real, a proposição: x2 ≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤
-1 equivale logicamente à:
a) se x = 1, então x2 = 1.
b) se x > 1, então x2> 1.
c) se -1 < x < 1, então x2 <
1.
d) se -1 < x < 1, então x2<
1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2≥ 1.
e) se -1 < x < 1, então x2 <
1, e se x2 ≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1.
RESOLUÇÃO:
A questão envolve equivalências com
o conectivo “se e somente se”.
A proposição dada no enunciado é x2
≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1.
Temos duas possibilidades:
1) construir outra equivalente
com o “se e somente se” ou
2) trocar o “se e somente se” por
duas proposições compostas pelo “se..., então...”.
Desta maneira, já podemos
eliminar as letras A, B, C.
Como as alternativas D e E não
envolvem o conectivo “se e somente se”, vamos transformar a proposição x2
≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1 em duas proposições compostas pelo “se...,
então...”:
Se x2
≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1 e se x ≥ 1 ou x ≤
-1, então x2 ≥ 1.
Observe a alternativa D.
d) se -1 < x < 1, então x2 <
1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2
≥ 1.
Observe que as partes azuis são iguais.
Vamos verificar agora o início da proposição (a parte que está em vermelho),
para tentar encontrar a equivalente.
Se x2
≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1.
Toda proposição composta pelo
“se..., então...” pode ser transformada em outra composta pelo “se...,
então...”. Basta negar de trás pra frente. Observe que o segundo componente é
composto pelo “ou”. Na hora de negar, devemos trocá-lo pelo “e”.
Se x<1 e x>-1, então x2
< 1.
Observe que a expressão x<1 e
x>-1 pode ser reescrita de uma maneira mais simples: -1 < x < 1.
Se -1 < x < 1, então x2
< 1.
Assim, mostramos que as
proposições seguinte são equivalentes.
Se x2
≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1 e se x ≥ 1 ou x ≤
-1, então x2 ≥ 1.
d) se -1 < x < 1, então
x2 < 1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então
x2 ≥ 1.
Gabarito: D
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